\section{转动参考系}\label{sec:12.02}


现在，我们选择一个相对于惯性系作转动运动的物体为一新
\begin{wrapfigure}[7]{r}{11em}
  %\vspace{-4em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig12.03}
  \caption{转动参考系}
  \label{fig:12.03}
\end{wrapfigure}
的参考物。这样一个参考系称为转动
参考系，也是一种非惯性系。因为地球
参考系是个转动参考系，所以关于转
动参考系的问题有特别的实际兴趣。
如上节指出，只要引入相应的惯性
力，则牛顿第二定律可以照用。关于
转动参考系的惯性力，是个较复杂的
问题。下面就几个特定情况来讨论。

% 356.jpg
如图\ref{fig:12.03}所示，图中圆盘以角速度$ \omega $对一惯性系$ K $作匀速转
动。如果质量为$ m $的质点$ A $对于圆盘参考系$ K' $是不动的，即在$ K' $
系看来$ A $是静止的，则应有
\begin{equation*}
  \vec{F} _ \text{总} = 0
\end{equation*}
\begin{align}\label{eqn:12.02.01}
  \beforetext{或} \vec{F} _ \text{真} + \vec{F} _ {in} = 0
\end{align}
在惯性系$ K $中看来，质点$ A $是作以$ r $为半径的匀速圆周运动，它
具有向心加速度$ \omega ^ 2 r $，作用在$ A $上的真实力是向心力$ \vec{F} _ \text{真} $，其大小
应为\vspace{-1.7em}
\begin{equation}\label{eqn:12.02.02}
  | \vec{F} _ \text{真} | = F _ \text{真} = m \omega ^ { 2 } r
\end{equation}
在牛顿力学中，我们总是认为，对不同参考系而言，真实力和质
量是不变的，故由式\eqref{eqn:12.02.01}和式\eqref{eqn:12.02.02}得知，在$ K' $中，$ A $所
受的惯性力$ \vec{F} _ {in} $的大小应为
\begin{equation}\label{eqn:12.02.03}
  F _ { in } = m \omega ^ { 2 } r
\end{equation}
其方向应在离心的方向。因此，称$ \vec{F} _ {in} $为惯性离心力。

惯性离心力的作用在日常生活中是熟悉的。当汽车转弯时，
\begin{wrapfigure}[9]{r}{11em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig12.04}
  \caption{转动参考系中的直线运动}
  \label{fig:12.04}
\end{wrapfigure}
乘客感到向外甩。这个现象在地面上
的人看来，是因为当汽车转弯时，乘
客仍按惯性定律保持着直线运动，结
果乘客相对于车厢的运动就是向外甩
出。而在车厢参考系看来，乘客的外
甩是由于惯性离心力的作用。

再讨论另一个特殊情况：质量为
$ m $的质点$ A $相对于圆盘参考系$ K' $沿着
半径方向作匀速直线运动(图\ref{fig:12.04})，
根据牛顿力学，从$ K' $系看来，
\begin{equation*}
  \vec{F} _ \text{真} + \vec{F} _ {in} = 0
\end{equation*}
\begin{align*}
  \beforetext{或}\vec{F} _ {in} = - \vec{F} _ \text{真}
\end{align*}
因此，要求出$ A $所受的惯性力$ \vec{F} _ {in} $，只要求得真实力$ \vec{F} _ \text{真} $就可以

\noindent 了。
% 357.jpg
而$ \vec{F} _ \text{真} $在不同参考系中是相同的，所以我们可在惯性系$ K $中求$ \vec{F} _ \text{真} $。
在K中看来，
\begin{equation*}
  \vec{F} _ \text{真} = m \vec{a}
\end{equation*}
$\vec{a}$是质点$ A $相对于$ K $的加速度。所以只要求出加速度$\vec{a}$，就可推知
\begin{equation*}
  \vec{F} _ {in} = - m \vec{a}
\end{equation*}

现在来求$\vec{a}$，假定在$ t $时刻圆盘相对$ K $系的位置如图\ref{fig:12.05a}所
示，质点$ A $相对圆盘参考系$ K' $的速度是$\vec{v}$，而圆盘$ A $处相对$ K $的速
度是$\vec{v}_c$，其大小为$ v _ { c } = \omega r $。
按速度合成公式，质点$ A $相对于$ K $的速度
是$ \vec{v}+\vec{v}_c $。在$ t + \Delta t $ 时，圆盘转动到图\ref{fig:12.05b}所示的位置，转
过角度$ \Delta \varphi = \omega \Delta t $，这时质点$ A $相对于$ K' $的速度是$ \vec{v}' $，由于$ A $相对
于圆盘是匀速直线运动，所以$ \vec{v} ' $在径向$\vec{r}'$的方向，其大小为$ v ^ { \prime } = v $；
现在圆盘$ A $处的速度是$ \vec{v} _ c ^ \prime $，其大小为$ v _ c ^ { \prime } = \omega r ^ { \prime } , r ^ { \prime } = r + v \Delta t $，故质
点$ A $相对于$ K $的速度为$ \vec{v} _ c ^ \prime + \vec{v} ^ \prime $。\vspace{-0.5em}
\begin{figure}[h]
  \centering
  \subfigure[\label{fig:12.05a}]{\includegraphics{figure/fig12.05a}}\qquad
  \subfigure[\label{fig:12.05b}]{\includegraphics{figure/fig12.05b}}\qquad
  \subfigure[\label{fig:12.05c}]{\includegraphics{figure/fig12.05c}}
  \caption{推求科里奥利力}
  \label{fig:12.05}
\end{figure}

根据定义，质点$ A $在$ K $中的加速度为
\begin{equation*}
  \vec{a} = \lim _ { \Delta t \to 0 } \frac { ( \vec{v} _ { c } ^ { \prime } + \vec{v} _ { \prime } ) - ( \vec{v} _ { c } + \vec{v} ) } { \Delta t }
\end{equation*}
下面我们将$ a $分解成平行于$\vec{v}$方向的分量$ a _ {//} $及垂直于$\vec{v}$的分量$ a _ \bot $。
根据图\ref{fig:12.05c}，有\\
\begin{equation}\label{eqn:12.02.04}
  \begin{aligned}
    a _ { // } & = \lim_{ \Delta t \to 0 } \frac { v _ { c// } ^ { \prime } + v _ { // } ^ { \prime } - v _ { c// } - v _ { // } } { \Delta t } \\
               & =\lim _{\Delta t \to 0} \frac{-v_{c}^{\prime} \sin \Delta \varphi+v^{\prime} \cos \Delta \varphi-0-v}{\Delta t}                \\
               & =\lim _{\Delta t \to 0} \frac{-\omega(r+v \Delta t) \Delta \varphi+v-v}{\Delta t}                                              \\
               & =-\omega^{2} r
  \end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eqn:12.02.05}
  \begin{aligned}
    a_{\bot} & =\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{v_{c \bot}^{\prime}+v_{\bot}^{\prime}-v_{c \bot}-v_{\bot}}{\Delta t}                 \\
             & =\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{v_{c}^{\prime} \cos \Delta \varphi+v^{\prime} \sin \Delta \varphi-v_{c}-0}{\Delta t} \\
             & =\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\omega(r+v \Delta t)+v \Delta \varphi-\omega r}{\Delta t}                          \\
             & =+2 v \omega
  \end{aligned}
\end{equation}
$ a_{//} $式中的负号，表示加速度方向与$\vec{v}$方向相反，指向圆心。$ a_{\bot} $式
的正号，表示它的方向垂直于$\vec{v}$向上。现在分别讨论与 $ a_{//}, a_{\bot}$所
相应的惯性力。

与$ a_{//} $相应的惯性力$ F_{//in} $大小为$ m\omega ^ 2 r $，方向平行于$\vec{v}$，也就是
平行于$\vec{r}$。这就是前面讨论过的惯性离心力。惯性离心力的大小
决定于质点距盘心距离$ r $，方向总是离心。无论质点相对于圆盘
运动还是静止，它所受到的惯性离心力都是一样的。

与$ a _ { \bot } $ 相应的惯性力$ F_{\bot in} $的大小是$ 2mv\omega $，如按图\ref{fig:12.05c}的方
位，这个力的方向是垂直于$\vec{v}$向下。这种新类型的惯性力，按照
它的发现者，被命名为科里奥利力。科里奥利力的特点是与质点
对圆盘参考系$ K' $的运动速度有关，当$ \vec{v} = 0 $，即相对于$ K' $静止时，
科里奥利力为零，所以只有对$ K' $运动着的物体才感受到科里奥利
力的作用。再则，科里奥利力与$\vec{v}$的方向垂直，总是力图改变质
点在$ K' $系中的运动方向。

可以一般地证明，在转动参考系中，只有惯性离心力及科里
奥利力这两种类型的惯性力。惯性离心力总可以表示为
% 359.jpg
\begin{equation}\label{eqn:12.02.06}
  \vec{F} _ \text{离} = m \omega ^ { 2 } \vec{R}
\end{equation}
其中矢量$\vec{R}$的大小为质点$ A $到转轴的距离，方向由转轴沿径向指向质点$ M $。科里奥利力总可以表成
\begin{equation}\label{eqn:12.02.07}
  \vec{F} _ { c } = 2 m \left( \vec{v} \times \vec{\omega} \right)
\end{equation}
其中$\vec{v}$是质点$ A $相对于$ K' $的速度；$\vec{\omega}$是参考系$ K' $的转动角速度矢
量。

地球是一个转动参考系，上述两种惯性力的效果在地球上都
有反映，有很大的实用意义。我们首先看一种简单情况，物体相
对于地球静止。由于地球是一个以$ \omega $匀速转动的参考系，质量为
$ m $的静止在地球表面的物体，在地球参考系观察者看来，必定受
到惯性离心力$ \vec{F}_\text{离} $，其大小为$ \omega ^ { 2 } R $，$ R $是物体到地球自转轴的距
离，力的方向为沿径向$ R $向外，如图12.6所示。显然，当纬度不
\begin{wrapfigure}[11]{r}{11em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig12.06}
  \caption{地球上物体所受到的惯性离心力}
  \label{fig:12.06}
\end{wrapfigure}
同时，$ \vec{F}_\text{离} $不同，两极处最小
为零；赤道处最大。地球上的自
由落体要受到$ \vec{F}_\text{离} $和地球引力$ \vec{F}_g $
两方面的作用。很容易看出，在
不同纬度，上述两力的合力大小
是不等的，因此，即使地球真是
均匀的球体，各处的重力加速度
也并不相同，极区大，赤道处
小。惯性离心力是造成各处$ g $不
等的重要原因之一。此外，我们
习惯说，用线悬挂一物体，则当
相对于地球静止时，悬线指向地心。其实，这个说法也并不严格。
绳应静止在$ \vec{F}_\text{离} $和$ \vec{F}_g $的合力$ \vec{F} $的方向。从图\ref{fig:12.06} 上可以看出，
$ \vec{F}_g $指向地心，而$ \vec{F} $并不指向地心，且这种偏离在不同纬度上有不
同值。

现在讨论科里奥利力的一些效应。当质量为$ m $的质点相对于
% 360.jpg
地球以$\vec{v}$运动时，必定要受到科里奥利力的作用，它由式 \eqref{eqn:12.02.07}
所描写。由式\eqref{eqn:12.02.07}不难断定，无论质点向哪方向运动，在北
半球，$ \vec{F}_c $总是指向质点行进方向的右侧；而在南半球，$ \vec{F}_c $总是
指向质点行进方向的左侧。北半球的河流总是冲刷右岸，使河床
大都是右岸陡，左岸坡；单行的火车轨道，总是右边的铁轨比左
边的铁轨要磨损得重些。上述诸现象在南半球则相反，这些都是
科里奥利力的作用。地球上很多左右不平衡的现象都与科里奥利
力有关。

科里奥利力的存在，是对地球相对于惯性系有转动的一个严
格的物理证明。直接证明地球参考系中存在科里奥利力的物理实
验是佛科摆。佛科摆是一个普通的单摆，只不过顶端的连接装置
保证悬点能在任何方向上同样自由地摆动。如图\ref{fig:12.07} 所示。如果
地球是惯性系，不论摆动多久，摆总是在同一个平面内，因为不
存在侧向力。如果地球是转动着的非惯性系，摆锤将受到侧向的
科里奥利力。在北半球，这个力总是指向右侧。图\ref{fig:12.08} 是由上向
下看的摆锤的轨道，当摆锤从1走向2时，不是沿直径到$ 2' $，而
是向右偏到达2，从2向3时，不是沿直径到达$ 3' $，而是到达
3，如此等等，就会使摆平面转动。1851年，佛科在巴黎的伟人
祠内大圆屋顶下公开表演了这个实验，看到了摆平面的转动。由
摆平面的转动，我们能严格地求得地球相对惯性系的转动角速度。可

\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig12.07}
    \caption{佛科摆}
    \label{fig:12.07}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig12.08}
    \caption{佛科摆锤轨道}
    \label{fig:12.08}
  \end{minipage}
\end{figure}% 361.jpg
\noindent
以说，直到这时，才算真正把亚里士多德的地心说与哥白
尼的日心说之争分清了。

\example 如图\ref{fig:12.09a}所示，用长为$ l $的绳将质量为$ m $的小球
悬挂起来，令物体以匀速率$ v $沿一水平圆周运动。物体运动时，
绳与竖直方向的夹角$ \theta $不变。这个装置称为圆锥摆。试求此圆锥
摆的周期$ T $。

\begin{figure}[h]
  \centering
  \subfigure[\label{fig:12.09a}]{\includegraphics{figure/fig12.09a}}\qquad
  \subfigure[\label{fig:12.09b}]{\includegraphics{figure/fig12.09b}}
  \caption{}
  \label{fig:12.09}
\end{figure}

\solution 可以从两种参考系来解这个题。一为地面惯性系，在此，
摆锥受两个力的作用，即张力$ T $及重力$ mg $；二是随$ m $一起运动的
参考系，此为旋转系，在此，摆锤受三个力的作用，即张力$ T $、
重力$ mg $及惯性力$ mv^2/R $。在惯性系中，$ m $作圆周运动；在旋转系
中，$ m $静止不动。用两种观点可解出同样的结果。下面分别求解

(1) 惯性系解法。取坐标如图\ref{fig:12.09a}，它是一个圆锥摆。
故有
\begin{align*}
  T _ { y } & = T \cos \theta = m g             \\
  T _ { x } & = T \sin \theta = m v ^ { 2 } / R \\
  R         & = l \sin \theta
\end{align*}
% 362.jpg
将上三式联立求解，得
\begin{equation*}
  v = \sqrt { R g \tg \theta }
\end{equation*}
周期则为
\begin{align*}
  T & = \frac { 2 \uppi R } { v }                     \\
    & = 2 \uppi \sqrt{ \frac { l \cos \theta } { g }}
\end{align*}

(2) 非惯性系解法。此时处理的是一个静力平衡的问题，坐
标原点取在$ m $上，$ x $与$ R $重合，$ oy $是竖直方向，如图\ref{fig:12.09b}所
示。张力、重力$ mg $及惯性力$ mv^2/R $三力平衡即为
\begin{align*}
  T \cos \theta & = m g             \\
  T \sin \theta & = m v ^ { 2 } / R \\
  R             & = l \sin \theta
\end{align*}
结果与上面相同。

\example 使长为$ l $的细绳一端固定在以匀速转动的水平光
\begin{wrapfigure}[8]{r}{13em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig12.10}
  \caption{}
  \label{fig:12.10}
\end{wrapfigure}
滑圆盘在中心$ O $点上，绳的另一
端系一质量为$ m_0 $的小球。欲使小
球在盘上相对于盘以匀速率$ v $作
圆周运动，旋转方向与盘相反。
问绳中的张力$ T $多大？

\solution (1) 惯性系解法。小球
受绳的张力$ T $是向心力，使小球
产生向心加速度，此为相对于地
面的绝对加速度$ a_\text{绝对} $：
\begin{align*}
  T _ { T }   & = m a_\text{绝对}                        \\
  a_\text{绝对} & = \frac { v _\text{绝对} ^ { 2 } } { l }
\end{align*}

% 363.jpg
\clearpage
\begin{align*}
  \beforetext{因为} \vec{v}_\text{绝对} = \vec{v}_\text{相对} + \vec{v}_\text{牵连}
\end{align*}
\begin{align*}
  \beforetext{所以} v_\text{绝对} & = v - l \omega                                                    \\
  a_\text{绝对}                 & = \frac { \left( v - l \omega \right) ^ { 2 } } { l }             \\
                              & = \frac { v ^ { 2 } } { l } + l \omega ^ { 2 } - 2 v \omega       \\
  T                           & = m \frac { v ^ { 2 } } { l } + m l \omega ^ { 2 } - 2 m v \omega
\end{align*}

(2) 非惯性系解法。小球受到绳的张力与惯性力的合力为向
心力，使它作匀速率$ v $的圆周运动。此时要用到在非惯性系中的
相对加速度。

在旋转坐标系中，作匀速圆周运动的物体受到两个惯性力的
作用，即惯性离心力($ f' $)
\begin{equation*}
  - m \frac { v _\text{牵连} ^ { 2 } } { l } = - m l \omega ^ { 2 }
\end{equation*}
和科里奥利力($ f'' $)
\begin{align*}
                  & 2 m v \omega                                                                         \\
  \beforetext{所以} & \vec{T} + \vec{f} ^ { \prime } + \vec{f} ^ { \prime \prime } = m \vec{a} _ \text{相对} \\
  \beforetext{即}  & T + 2 m v \omega - m l \omega ^ { 2 } = m \frac { v ^ { 2 } } { l }                  \\
  \beforetext{故}  & T = m \frac { v ^ { 2 } } { l } + m l \omega ^ { 2 } - 2 m v \omega
\end{align*}
与上述结果相同。
